{l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 મેળવવા માટે 20 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$10x+4y=5x+20$$

બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$10x+4y-5x=20$$

5x ને મેળવવા માટે 10x અને -5x ને એકસાથે કરો.

$$5x+4y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3y=x-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x+3y=x+8$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3x+3y-x=8$$

2x ને મેળવવા માટે 3x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$2x+3y=8$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+4y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-4y+20$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

-4y+20 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+3y=8 માં x માટે -\frac{4y}{5}+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

-\frac{4y}{5}+4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

3y માં -\frac{8y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{5}y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{5}y+4માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=0$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 મેળવવા માટે 20 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$10x+4y=5x+20$$

બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$10x+4y-5x=20$$

5x ને મેળવવા માટે 10x અને -5x ને એકસાથે કરો.

$$5x+4y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3y=x-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x+3y=x+8$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3x+3y-x=8$$

2x ને મેળવવા માટે 3x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$2x+3y=8$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=0$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 20 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,5,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

10 સાથે x+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0 મેળવવા માટે 20 માંથી 20 ને ઘટાડો.

$$10x+4y=5x+20$$

બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$10x+4y-5x=20$$

5x ને મેળવવા માટે 10x અને -5x ને એકસાથે કરો.

$$5x+4y=20$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3y=x-1+9$$

8મેળવવા માટે -1 અને 9 ને ઍડ કરો.

$$3x+3y=x+8$$

બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3x+3y-x=8$$

2x ને મેળવવા માટે 3x અને -x ને એકસાથે કરો.

$$2x+3y=8$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+8y=40માંથી 10x+15y=40 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$8y-15y=40-40$$

-15y માં 8y ઍડ કરો.

$$-7y=40-40$$

-40 માં 40 ઍડ કરો.

$$-7y=0$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=0$$

2x+3y=8માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x=8$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=0$$