{l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=3$$

$$y=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3-2y=4$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-2y=4-3$$

1 મેળવવા માટે 4 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-6=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-6-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3x-y=-1+6$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-y=5 માં x માટે \frac{2y+1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

\frac{2y+1}{3} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+1-y=5$$

-y માં 2y ઍડ કરો.

$$y+1=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

4 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{8}{3} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3-2y=4$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-2y=4-3$$

1 મેળવવા માટે 4 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-6=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-6-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3x-y=-1+6$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=3,y=4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ -2 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y+2\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y+2,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

3 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

2 સાથે y+2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+3=2y+4$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$3x+3-2y=4$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$3x-2y=4-3$$

1 મેળવવા માટે 4 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$3x-2y=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ 1 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 3\left(y-1\right) દ્વારા ગુણાકાર કરો, y-1,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

3 સાથે x-2 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-6=y-1$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-6-y=-1$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો.

$$3x-y=-1+6$$

5મેળવવા માટે -1 અને 6 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-2y=1માંથી 3x-y=5 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-2y+y=1-5$$

y માં -2y ઍડ કરો.

$$-y=1-5$$

-5 માં 1 ઍડ કરો.

$$-y=-4$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=4$$

3x-y=5માં y માટે 4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-4=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$3x=9$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=3,y=4$$