{l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 સાથે 9x+4y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 સાથે 5x-11 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x ને મેળવવા માટે 18x અને -15x ને એકસાથે કરો.

$$3x+8y+33=78-6y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6y ઍડ કરો.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y ને મેળવવા માટે 8y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$3x+14y+33=78$$

બન્ને બાજુથી 33 ઘટાડો.

$$3x+14y=78-33$$

45 મેળવવા માટે 78 માંથી 33 ને ઘટાડો.

$$3x+14y=45$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+14y=45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 14y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-14y+45$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

-14y+45 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

અન્ય સમીકરણ, 13x-7y=-8 માં x માટે -\frac{14y}{3}+15 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

-\frac{14y}{3}+15 ને 13 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

-7y માં -\frac{182y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 195 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{203}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=3$$

x=-\frac{14}{3}y+15માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

3 ને -\frac{14}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-14+15$$

-14 માં 15 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 સાથે 9x+4y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 સાથે 5x-11 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x ને મેળવવા માટે 18x અને -15x ને એકસાથે કરો.

$$3x+8y+33=78-6y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6y ઍડ કરો.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y ને મેળવવા માટે 8y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$3x+14y+33=78$$

બન્ને બાજુથી 33 ઘટાડો.

$$3x+14y=78-33$$

45 મેળવવા માટે 78 માંથી 33 ને ઘટાડો.

$$3x+14y=45$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

2 સાથે 9x+4y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

-3 સાથે 5x-11 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

3x ને મેળવવા માટે 18x અને -15x ને એકસાથે કરો.

$$3x+8y+33=78-6y$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6y ઍડ કરો.

$$3x+8y+33+6y=78$$

14y ને મેળવવા માટે 8y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$3x+14y+33=78$$

બન્ને બાજુથી 33 ઘટાડો.

$$3x+14y=78-33$$

45 મેળવવા માટે 78 માંથી 33 ને ઘટાડો.

$$3x+14y=45$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

3x અને 13x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 13 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

સરળ બનાવો.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 39x+182y=585માંથી 39x-21y=-24 ને ઘટાડો.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

-39x માં 39x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 39x અને -39x ને વિભાજિત કરો.

$$182y+21y=585+24$$

21y માં 182y ઍડ કરો.

$$203y=585+24$$

24 માં 585 ઍડ કરો.

$$203y=609$$

બન્ને બાજુનો 203 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=3$$

13x-7y=-8માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$13x-7\times 3=-8$$

3 ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$13x-21=-8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 21 ઍડ કરો.

$$13x=13$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=3$$