{l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 સાથે 2x-y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 સાથે x-2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x ને મેળવવા માટે 8x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y ને મેળવવા માટે -4y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 મેળવવા માટે 12 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$5x+2y+3=48$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$5x+2y=48-3$$

45 મેળવવા માટે 48 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$5x+2y=45$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 સાથે 3x-4y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 સાથે 4x-2y-9 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x ને મેળવવા માટે 9x અને 16x ને એકસાથે કરો.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y ને મેળવવા માટે -12y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 મેળવવા માટે 9 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$25x-20y-27=48$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$25x-20y=48+27$$

75મેળવવા માટે 48 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$25x-20y=75$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+2y=45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-2y+45$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

-2y+45 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

અન્ય સમીકરણ, 25x-20y=75 માં x માટે -\frac{2y}{5}+9 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

-\frac{2y}{5}+9 ને 25 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+225-20y=75$$

-20y માં -10y ઍડ કરો.

$$-30y+225=75$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 225 નો ઘટાડો કરો.

$$-30y=-150$$

બન્ને બાજુનો -30 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

x=-\frac{2}{5}y+9માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

5 ને -\frac{2}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2+9$$

-2 માં 9 ઍડ કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 સાથે 2x-y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 સાથે x-2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x ને મેળવવા માટે 8x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y ને મેળવવા માટે -4y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 મેળવવા માટે 12 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$5x+2y+3=48$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$5x+2y=48-3$$

45 મેળવવા માટે 48 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$5x+2y=45$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 સાથે 3x-4y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 સાથે 4x-2y-9 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x ને મેળવવા માટે 9x અને 16x ને એકસાથે કરો.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y ને મેળવવા માટે -12y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 મેળવવા માટે 9 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$25x-20y-27=48$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$25x-20y=48+27$$

75મેળવવા માટે 48 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$25x-20y=75$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

4 સાથે 2x-y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

-3 સાથે x-2y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

5x ને મેળવવા માટે 8x અને -3x ને એકસાથે કરો.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

2y ને મેળવવા માટે -4y અને 6y ને એકસાથે કરો.

$$5x+2y+12-9=48$$

3 મેળવવા માટે 12 માંથી 9 ને ઘટાડો.

$$5x+2y+3=48$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$5x+2y=48-3$$

45 મેળવવા માટે 48 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$5x+2y=45$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 4,3 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

3 સાથે 3x-4y+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

4 સાથે 4x-2y-9 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

25x ને મેળવવા માટે 9x અને 16x ને એકસાથે કરો.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

-20y ને મેળવવા માટે -12y અને -8y ને એકસાથે કરો.

$$25x-20y+9-36=48$$

-27 મેળવવા માટે 9 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$25x-20y-27=48$$

બંને સાઇડ્સ માટે 27 ઍડ કરો.

$$25x-20y=48+27$$

75મેળવવા માટે 48 અને 27 ને ઍડ કરો.

$$25x-20y=75$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

5x અને 25x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 25 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

સરળ બનાવો.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 125x+50y=1125માંથી 125x-100y=375 ને ઘટાડો.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

-125x માં 125x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 125x અને -125x ને વિભાજિત કરો.

$$50y+100y=1125-375$$

100y માં 50y ઍડ કરો.

$$150y=1125-375$$

-375 માં 1125 ઍડ કરો.

$$150y=750$$

બન્ને બાજુનો 150 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

25x-20y=75માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$25x-20\times 5=75$$

5 ને -20 વાર ગુણાકાર કરો.

$$25x-100=75$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 100 ઍડ કરો.

$$25x=175$$

બન્ને બાજુનો 25 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=5$$