{l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ \frac{2}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3y-2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+3=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+3-3y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 ને મેળવવા માટે 2xy અને -2yx ને એકસાથે કરો.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-6y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y-5$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -7x-6y=1 માં x માટે \frac{3y-5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

\frac{3y-5}{2} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

-6y માં -\frac{21y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{35}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{33}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{2} માં -\frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ \frac{2}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3y-2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+3=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+3-3y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 ને મેળવવા માટે 2xy અને -2yx ને એકસાથે કરો.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-6y=1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ y એ \frac{2}{3} ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3y-2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+3=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$2x+3-3y=-2$$

બન્ને બાજુથી 3 ઘટાડો.

$$2x-3y=-2-3$$

-5 મેળવવા માટે -2 માંથી 3 ને ઘટાડો.

$$2x-3y=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

-2y સાથે x+3 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

0 ને મેળવવા માટે 2xy અને -2yx ને એકસાથે કરો.

$$-5x-6y-2x=1$$

-7x ને મેળવવા માટે -5x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-7x-6y=1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

2x અને -7x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -7 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

સરળ બનાવો.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -14x+21y=35માંથી -14x-12y=2 ને ઘટાડો.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

14x માં -14x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -14x અને 14x ને વિભાજિત કરો.

$$21y+12y=35-2$$

12y માં 21y ઍડ કરો.

$$33y=35-2$$

-2 માં 35 ઍડ કરો.

$$33y=33$$

બન્ને બાજુનો 33 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

-7x-6y=1માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-7x-6=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$-7x=7$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=1$$