{l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

A, B માટે ઉકેલો

$$A=300$$

$$B=200$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને A ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને A માટે ઉકેલો.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી B નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

-B+400 ને \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

અન્ય સમીકરણ, A+\frac{4}{5}B=460 માં A માટે -\frac{3B}{2}+600 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{4B}{5} માં -\frac{3B}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 600 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{7}{10} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$B=200$$

A=-\frac{3}{2}B+600માં B માટે 200 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

200 ને -\frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$A=-300+600$$

-300 માં 600 ઍડ કરો.

$$A=300$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=300,B=200$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો A અને B ને કાઢો.

$$A=300,B=200$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{2A}{3} અને A ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{2}{3} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{2}{3}A+B=400માંથી \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} ને ઘટાડો.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{2A}{3} માં \frac{2A}{3} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{2A}{3} અને -\frac{2A}{3} ને વિભાજિત કરો.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{8B}{15} માં B ઍડ કરો.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{920}{3} માં 400 ઍડ કરો.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{15} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$B=200$$

A+\frac{4}{5}B=460માં B માટે 200 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

200 ને \frac{4}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$A+160=460$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 160 નો ઘટાડો કરો.

$$A=300$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=300,B=200$$