{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 100 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$108x+110y=100800$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{110}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{108}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$108x+110y=100800$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 110y નો ઘટાડો કરો.

$$108x=-110y+100800$$

બન્ને બાજુનો 108 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

-110y+100800 ને \frac{1}{108} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028 માં x માટે -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

-\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} ને \frac{11}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{27y}{25} માં -\frac{121y}{108} ઍડ કરો.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3080}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{109}{2700} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}માં y માટે -\frac{3600}{109} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{55}{54} નો -\frac{3600}{109} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{11000}{327} માં \frac{2800}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{105400}{109}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 100 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$108x+110y=100800$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{110}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{108}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 100 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$108x+110y=100800$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{110}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{108}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x અને \frac{11x}{10} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{11}{10} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 108 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{594}{5}x+121y=110880માંથી \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 ને ઘટાડો.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{594x}{5} માં \frac{594x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{594x}{5} અને -\frac{594x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{2916y}{25} માં 121y ઍડ કરો.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

-111024 માં 110880 ઍડ કરો.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{109}{25} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028માં y માટે -\frac{3600}{109} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{27}{25} નો -\frac{3600}{109} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3888}{109} ઍડ કરો.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{11}{10} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{105400}{109}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$