{l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

x+\frac{1}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -\frac{1}{2}y+3x=10 માં y માટે 5x+\frac{5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

5x+\frac{5}{2} ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

3x માં -\frac{5x}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{45}{2}$$

y=5x+\frac{5}{2}માં x માટે \frac{45}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

\frac{45}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{225}{2} માં \frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=115$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

\frac{y}{5} અને -\frac{y}{2} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -\frac{1}{2} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{1}{5} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

સરળ બનાવો.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}માંથી -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 ને ઘટાડો.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

\frac{y}{10} માં -\frac{y}{10} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{y}{10} અને \frac{y}{10} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

-\frac{3x}{5} માં \frac{x}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

-2 માં -\frac{1}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

બન્ને બાજુનો -10 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2}y+3x=10માં x માટે \frac{45}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

\frac{45}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{135}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

બન્ને બાજુનો -2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=115$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$