{l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

\frac{2y}{3}+5 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

અન્ય સમીકરણ, x+3y=6 માં x માટે \frac{4y}{3}+10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

3y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{13}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{12}{13}$$

x=\frac{4}{3}y+10માં y માટે -\frac{12}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{4}{3} નો -\frac{12}{13} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

-\frac{16}{13} માં 10 ઍડ કરો.

$$x=\frac{114}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

\frac{x}{2} અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{1}{2} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0માંથી \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

-\frac{x}{2} માં \frac{x}{2} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{x}{2} અને -\frac{x}{2} ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

-\frac{3y}{2} માં -\frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5 ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{13}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{12}{13}$$

x+3y=6માં y માટે -\frac{12}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

-\frac{12}{13} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{36}{13} ઍડ કરો.

$$x=\frac{114}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$