{l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,12,3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 સાથે 2x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

બન્ને બાજુથી 8x ઘટાડો.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x ને મેળવવા માટે 6x અને -8x ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20y ઍડ કરો.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y ને મેળવવા માટે -2y અને 20y ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1+18y=-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20મેળવવા માટે -21 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-20$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-2x+18y=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 18y નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=-18y-20$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

-18y-20 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=9y+10$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35} માં x માટે 9y+10 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

9y+10 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

\frac{2y}{7} માં \frac{9y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{73}{35} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-1$$

x=9y+10માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

-1 ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-9+10$$

-9 માં 10 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,12,3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 સાથે 2x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

બન્ને બાજુથી 8x ઘટાડો.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x ને મેળવવા માટે 6x અને -8x ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20y ઍડ કરો.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y ને મેળવવા માટે -2y અને 20y ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1+18y=-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20મેળવવા માટે -21 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-20$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 2,12,3,4 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

4 સાથે 2x-5y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

બન્ને બાજુથી 8x ઘટાડો.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2x ને મેળવવા માટે 6x અને -8x ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 20y ઍડ કરો.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18y ને મેળવવા માટે -2y અને 20y ને એકસાથે કરો.

$$-2x-1+18y=-21$$

બંને સાઇડ્સ માટે 1 ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20મેળવવા માટે -21 અને 1 ને ઍડ કરો.

$$-2x+18y=-20$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x અને \frac{x}{5} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{1}{5} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4માંથી -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35} ને ઘટાડો.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{2x}{5} માં -\frac{2x}{5} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{2x}{5} અને \frac{2x}{5} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{4y}{7} માં \frac{18y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

-\frac{6}{35} માં -4 ઍડ કરો.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{146}{35} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-1$$

\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

-1 ને \frac{2}{7} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{7} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

બન્ને બાજુનો 5 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-1$$