{c}{y-3x+15=10}{6-4x=y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$y-3x=10-15$$

-5 મેળવવા માટે 10 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$6-4x-y=0$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-4x-y=-6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-3x=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3x ઍડ કરો.

$$y=3x-5$$

અન્ય સમીકરણ, -y-4x=-6 માં y માટે 3x-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

3x-5 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x+5-4x=-6$$

-4x માં -3x ઍડ કરો.

$$-7x+5=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$-7x=-11$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{11}{7}$$

y=3x-5માં x માટે \frac{11}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

\frac{11}{7} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

\frac{33}{7} માં -5 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{2}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$y-3x=10-15$$

-5 મેળવવા માટે 10 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$6-4x-y=0$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-4x-y=-6$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 15 ઘટાડો.

$$y-3x=10-15$$

-5 મેળવવા માટે 10 માંથી 15 ને ઘટાડો.

$$y-3x=-5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$6-4x-y=0$$

બન્ને બાજુથી 6 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$-4x-y=-6$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y અને -y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

સરળ બનાવો.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -y+3x=5માંથી -y-4x=-6 ને ઘટાડો.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

y માં -y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -y અને y ને વિભાજિત કરો.

$$3x+4x=5+6$$

4x માં 3x ઍડ કરો.

$$7x=5+6$$

6 માં 5 ઍડ કરો.

$$7x=11$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{11}{7}$$

-y-4x=-6માં x માટે \frac{11}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

\frac{11}{7} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{44}{7} ઍડ કરો.

$$-y=\frac{2}{7}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{2}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$