{c}{y=x+1000}{0.08x+0.06y=515} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { y = x + 1000 } \\ { 0.08 x + 0.06 y = 515 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=3250$$

$$y=4250$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1000$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-x=1000$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$y=x+1000$$

અન્ય સમીકરણ, 0.06y+0.08x=515 માં y માટે x+1000 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$0.06\left(x+1000\right)+0.08x=515$$

x+1000 ને 0.06 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.06x+60+0.08x=515$$

\frac{2x}{25} માં \frac{3x}{50} ઍડ કરો.

$$0.14x+60=515$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 60 નો ઘટાડો કરો.

$$0.14x=455$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.14 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=3250$$

y=x+1000માં x માટે 3250 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=3250+1000$$

3250 માં 1000 ઍડ કરો.

$$y=4250$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=4250,x=3250$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1000$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.06&0.08\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.08}{0.08-\left(-0.06\right)}&-\frac{-1}{0.08-\left(-0.06\right)}\\-\frac{0.06}{0.08-\left(-0.06\right)}&\frac{1}{0.08-\left(-0.06\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&\frac{50}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\515\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\\-\frac{3}{7}\times 1000+\frac{50}{7}\times 515\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4250\\3250\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=4250,x=3250$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=1000$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-x=1000,0.06y+0.08x=515$$

y અને \frac{3y}{50} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 0.06 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$0.06y+0.06\left(-1\right)x=0.06\times 1000,0.06y+0.08x=515$$

સરળ બનાવો.

$$0.06y-0.06x=60,0.06y+0.08x=515$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 0.06y-0.06x=60માંથી 0.06y+0.08x=515 ને ઘટાડો.

$$0.06y-0.06y-0.06x-0.08x=60-515$$

-\frac{3y}{50} માં \frac{3y}{50} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{3y}{50} અને -\frac{3y}{50} ને વિભાજિત કરો.

$$-0.06x-0.08x=60-515$$

-\frac{2x}{25} માં -\frac{3x}{50} ઍડ કરો.

$$-0.14x=60-515$$

-515 માં 60 ઍડ કરો.

$$-0.14x=-455$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -0.14 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=3250$$

0.06y+0.08x=515માં x માટે 3250 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$0.06y+0.08\times 3250=515$$

3250 ને 0.08 વાર ગુણાકાર કરો.

$$0.06y+260=515$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 260 નો ઘટાડો કરો.

$$0.06y=255$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 0.06 થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=4250$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=4250,x=3250$$