{c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=53$$

$$y=17$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-5=4y-20$$

બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$x-5-4y=-20$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$x-4y=-20+5$$

-15મેળવવા માટે -20 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$x-4y=-15$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-3y=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$x=3y+2$$

અન્ય સમીકરણ, x-4y=-15 માં x માટે 3y+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3y+2-4y=-15$$

-4y માં 3y ઍડ કરો.

$$-y+2=-15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-17$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=17$$

x=3y+2માં y માટે 17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3\times 17+2$$

17 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=51+2$$

51 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=53$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=53,y=17$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-5=4y-20$$

બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$x-5-4y=-20$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$x-4y=-20+5$$

-15મેળવવા માટે -20 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$x-4y=-15$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=53,y=17$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 4 સાથે y-5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-5=4y-20$$

બન્ને બાજુથી 4y ઘટાડો.

$$x-5-4y=-20$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$x-4y=-20+5$$

-15મેળવવા માટે -20 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$x-4y=-15$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x-3y=2માંથી x-4y=-15 ને ઘટાડો.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

-x માં x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો x અને -x ને વિભાજિત કરો.

$$-3y+4y=2+15$$

4y માં -3y ઍડ કરો.

$$y=2+15$$

15 માં 2 ઍડ કરો.

$$y=17$$

x-4y=-15માં y માટે 17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-4\times 17=-15$$

17 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-68=-15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 68 ઍડ કરો.

$$x=53$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=53,y=17$$