{c}{x+y=89}{2x+y=23y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 23y ઘટાડો.

$$2x+y-23y=0$$

-22y ને મેળવવા માટે y અને -23y ને એકસાથે કરો.

$$2x-22y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=89$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+89$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-22y=0 માં x માટે -y+89 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

-y+89 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y+178-22y=0$$

-22y માં -2y ઍડ કરો.

$$-24y+178=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 178 નો ઘટાડો કરો.

$$-24y=-178$$

બન્ને બાજુનો -24 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{89}{12}$$

x=-y+89માં y માટે \frac{89}{12} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

-\frac{89}{12} માં 89 ઍડ કરો.

$$x=\frac{979}{12}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 23y ઘટાડો.

$$2x+y-23y=0$$

-22y ને મેળવવા માટે y અને -23y ને એકસાથે કરો.

$$2x-22y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 23y ઘટાડો.

$$2x+y-23y=0$$

-22y ને મેળવવા માટે y અને -23y ને એકસાથે કરો.

$$2x-22y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

સરળ બનાવો.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x+2y=178માંથી 2x-22y=0 ને ઘટાડો.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$2y+22y=178$$

22y માં 2y ઍડ કરો.

$$24y=178$$

બન્ને બાજુનો 24 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{89}{12}$$

2x-22y=0માં y માટે \frac{89}{12} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

\frac{89}{12} ને -22 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{979}{6} ઍડ કરો.

$$2x=\frac{979}{6}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{979}{12}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$