{c}{x+y=60}{35x+40y=2275} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 60 } \\ { 35 x + 40 y = 2275 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=25$$

$$y=35$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=60,35x+40y=2275$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=60$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+60$$

અન્ય સમીકરણ, 35x+40y=2275 માં x માટે -y+60 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$35\left(-y+60\right)+40y=2275$$

-y+60 ને 35 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-35y+2100+40y=2275$$

40y માં -35y ઍડ કરો.

$$5y+2100=2275$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2100 નો ઘટાડો કરો.

$$5y=175$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=35$$

x=-y+60માં y માટે 35 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-35+60$$

-35 માં 60 ઍડ કરો.

$$x=25$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=25,y=35$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=60,35x+40y=2275$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\35&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{40-35}&-\frac{1}{40-35}\\-\frac{35}{40-35}&\frac{1}{40-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&-\frac{1}{5}\\-7&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\2275\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\times 60-\frac{1}{5}\times 2275\\-7\times 60+\frac{1}{5}\times 2275\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=25,y=35$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=60,35x+40y=2275$$

x અને 35x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 35 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$35x+35y=35\times 60,35x+40y=2275$$

સરળ બનાવો.

$$35x+35y=2100,35x+40y=2275$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 35x+35y=2100માંથી 35x+40y=2275 ને ઘટાડો.

$$35x-35x+35y-40y=2100-2275$$

-35x માં 35x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 35x અને -35x ને વિભાજિત કરો.

$$35y-40y=2100-2275$$

-40y માં 35y ઍડ કરો.

$$-5y=2100-2275$$

-2275 માં 2100 ઍડ કરો.

$$-5y=-175$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=35$$

35x+40y=2275માં y માટે 35 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$35x+40\times 35=2275$$

35 ને 40 વાર ગુણાકાર કરો.

$$35x+1400=2275$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1400 નો ઘટાડો કરો.

$$35x=875$$

બન્ને બાજુનો 35 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=25$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=25,y=35$$