{c}{8x+6y=-10}{-8x-5y=15} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 6 y = - 10 } \\ { - 8 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-5$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$8x+6y=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6y નો ઘટાડો કરો.

$$8x=-6y-10$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{8}\left(-6y-10\right)$$

-6y-10 ને \frac{1}{8} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -8x-5y=15 માં x માટે \frac{-3y-5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8\left(-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}\right)-5y=15$$

\frac{-3y-5}{4} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6y+10-5y=15$$

-5y માં 6y ઍડ કરો.

$$y+10=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5-\frac{5}{4}$$

5 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-15-5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{15}{4} માં -\frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&6\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&-\frac{6}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-6\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 15\\-10+15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-5,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$8x+6y=-10,-8x-5y=15$$

8x અને -8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-8\times 8x-8\times 6y=-8\left(-10\right),8\left(-8\right)x+8\left(-5\right)y=8\times 15$$

સરળ બનાવો.

$$-64x-48y=80,-64x-40y=120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -64x-48y=80માંથી -64x-40y=120 ને ઘટાડો.

$$-64x+64x-48y+40y=80-120$$

64x માં -64x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -64x અને 64x ને વિભાજિત કરો.

$$-48y+40y=80-120$$

40y માં -48y ઍડ કરો.

$$-8y=80-120$$

-120 માં 80 ઍડ કરો.

$$-8y=-40$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

-8x-5y=15માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-8x-5\times 5=15$$

5 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-8x-25=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 25 ઍડ કરો.

$$-8x=40$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-5,y=5$$