{c}{5x+4y=25}{-4x+2y=32} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 2 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$5x+4y=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-4y+25$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+25\right)$$

-4y+25 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{5}y+5$$

અન્ય સમીકરણ, -4x+2y=32 માં x માટે -\frac{4y}{5}+5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4\left(-\frac{4}{5}y+5\right)+2y=32$$

-\frac{4y}{5}+5 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{16}{5}y-20+2y=32$$

2y માં \frac{16y}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{26}{5}y-20=32$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20 ઍડ કરો.

$$\frac{26}{5}y=52$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{26}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=10$$

x=-\frac{4}{5}y+5માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{5}\times 10+5$$

10 ને -\frac{4}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-8+5$$

-8 માં 5 ઍડ કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{5\times 2-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{5\times 2-4\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\32\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 25-\frac{2}{13}\times 32\\\frac{2}{13}\times 25+\frac{5}{26}\times 32\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5x+4y=25,-4x+2y=32$$

5x અને -4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4\times 5x-4\times 4y=-4\times 25,5\left(-4\right)x+5\times 2y=5\times 32$$

સરળ બનાવો.

$$-20x-16y=-100,-20x+10y=160$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -20x-16y=-100માંથી -20x+10y=160 ને ઘટાડો.

$$-20x+20x-16y-10y=-100-160$$

20x માં -20x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -20x અને 20x ને વિભાજિત કરો.

$$-16y-10y=-100-160$$

-10y માં -16y ઍડ કરો.

$$-26y=-100-160$$

-160 માં -100 ઍડ કરો.

$$-26y=-260$$

બન્ને બાજુનો -26 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=10$$

-4x+2y=32માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-4x+2\times 10=32$$

10 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-4x+20=32$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$-4x=12$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=10$$