{c}{4x+3y=13}{x+3y=10} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+3y=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-3y+13$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

-3y+13 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, x+3y=10 માં x માટે \frac{-3y+13}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

3y માં -\frac{3y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{13}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{9}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}માં y માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

3 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{4} માં \frac{13}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4x+3y=13માંથી x+3y=10 ને ઘટાડો.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

-3y માં 3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3y અને -3y ને વિભાજિત કરો.

$$4x-x=13-10$$

-x માં 4x ઍડ કરો.

$$3x=13-10$$

-10 માં 13 ઍડ કરો.

$$3x=3$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

x+3y=10માં x માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$1+3y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$3y=9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=3$$