{c}{3y-2x=4}{x-2y=3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { 3 y - 2 x = 4 } \\ { x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-17$$

$$y=-10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3y-2x=4,-2y+x=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$3y-2x=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x ઍડ કરો.

$$3y=2x+4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{3}\left(2x+4\right)$$

4+2x ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -2y+x=3 માં y માટે \frac{4+2x}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\right)+x=3$$

\frac{4+2x}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}+x=3$$

x માં -\frac{4x}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{8}{3}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{8}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{17}{3}$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=-17$$

y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}માં x માટે -17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{2}{3}\left(-17\right)+\frac{4}{3}$$

-17 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-34+4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{34}{3} માં \frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-10,x=-17$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-2x=4,-2y+x=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4-2\times 3\\-2\times 4-3\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-10,x=-17$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3y-2x=4,-2y+x=3$$

3y અને -2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 3y-2\left(-2\right)x=-2\times 4,3\left(-2\right)y+3x=3\times 3$$

સરળ બનાવો.

$$-6y+4x=-8,-6y+3x=9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -6y+4x=-8માંથી -6y+3x=9 ને ઘટાડો.

$$-6y+6y+4x-3x=-8-9$$

6y માં -6y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -6y અને 6y ને વિભાજિત કરો.

$$4x-3x=-8-9$$

-3x માં 4x ઍડ કરો.

$$x=-8-9$$

-9 માં -8 ઍડ કરો.

$$x=-17$$

-2y+x=3માં x માટે -17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-2y-17=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 17 ઍડ કરો.

$$-2y=20$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-10,x=-17$$