{c}{3x+4y=12}{x+6y=-16} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+4y=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y+12$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

-4y+12 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

અન્ય સમીકરણ, x+6y=-16 માં x માટે -\frac{4y}{3}+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

6y માં -\frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{14}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+4માં y માટે -\frac{30}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{3} નો -\frac{30}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

\frac{40}{7} માં 4 ઍડ કરો.

$$x=\frac{68}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

સરળ બનાવો.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+4y=12માંથી 3x+18y=-48 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-18y=12+48$$

-18y માં 4y ઍડ કરો.

$$-14y=12+48$$

48 માં 12 ઍડ કરો.

$$-14y=60$$

બન્ને બાજુનો -14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x+6y=-16માં y માટે -\frac{30}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

-\frac{30}{7} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{180}{7} ઍડ કરો.

$$x=\frac{68}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$