{c}{-x+3y=6}{-2x+5y=11} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { - x + 3 y = 6 } \\ { - 2 x + 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x+3y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-3y+6$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

-3y+6 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=3y-6$$

અન્ય સમીકરણ, -2x+5y=11 માં x માટે -6+3y નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(3y-6\right)+5y=11$$

-6+3y ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6y+12+5y=11$$

5y માં -6y ઍડ કરો.

$$-y+12=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-1$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x=3y-6માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3-6$$

3 માં -6 ઍડ કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{-5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{1}{-5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 6-3\times 11\\2\times 6-11\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

-x અને -2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 3y=-2\times 6,-\left(-2\right)x-5y=-11$$

સરળ બનાવો.

$$2x-6y=-12,2x-5y=-11$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-6y=-12માંથી 2x-5y=-11 ને ઘટાડો.

$$2x-2x-6y+5y=-12+11$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$-6y+5y=-12+11$$

5y માં -6y ઍડ કરો.

$$-y=-12+11$$

11 માં -12 ઍડ કરો.

$$-y=-1$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

-2x+5y=11માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-2x+5=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$-2x=6$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=1$$