{c}{-4x+2y=-30}{4x+8y=20} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { - 4 x + 2 y = - 30 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-4x+2y=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$-4x=-2y-30$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-2y-30\right)$$

-2y-30 ને -\frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+8y=20 માં x માટે \frac{15+y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}\right)+8y=20$$

\frac{15+y}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+30+8y=20$$

8y માં 2y ઍડ કરો.

$$10y+30=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 30 નો ઘટાડો કરો.

$$10y=-10$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{15}{2}$$

-1 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-1+15}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{1}{2} માં \frac{15}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&2\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{2}{-4\times 8-2\times 4}\\-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}&-\frac{4}{-4\times 8-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-30\right)+\frac{1}{20}\times 20\\\frac{1}{10}\left(-30\right)+\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-4x+2y=-30,4x+8y=20$$

-4x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\left(-4\right)x+4\times 2y=4\left(-30\right),-4\times 4x-4\times 8y=-4\times 20$$

સરળ બનાવો.

$$-16x+8y=-120,-16x-32y=-80$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -16x+8y=-120માંથી -16x-32y=-80 ને ઘટાડો.

$$-16x+16x+8y+32y=-120+80$$

16x માં -16x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -16x અને 16x ને વિભાજિત કરો.

$$8y+32y=-120+80$$

32y માં 8y ઍડ કરો.

$$40y=-120+80$$

80 માં -120 ઍડ કરો.

$$40y=-40$$

બન્ને બાજુનો 40 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

4x+8y=20માં y માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+8\left(-1\right)=20$$

-1 ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x-8=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$4x=28$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=-1$$