{c}{-2x-y=-5}{x+6y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x - y = - 5 } \\ { x + 6 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{21}{11} = 1\frac{10}{11} \approx 1.909090909$$

$$y = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2x-y=-5,x+6y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-2x-y=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$-2x=y-5$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-5\right)$$

y-5 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, x+6y=9 માં x માટે \frac{-y+5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+6y=9$$

6y માં -\frac{y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{11}{2}y+\frac{5}{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{11}{2}y=\frac{13}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{11}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{13}{11}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}માં y માટે \frac{13}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{13}{11}+\frac{5}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો \frac{13}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{13}{22}+\frac{5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{13}{22} માં \frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{21}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{21}{11},y=\frac{13}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-2x-y=-5,x+6y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-2\times 6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\times 6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\times 6-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\times 6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\times 9\\\frac{1}{11}\left(-5\right)+\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{11}\\\frac{13}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{21}{11},y=\frac{13}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-2x-y=-5,x+6y=9$$

-2x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-y=-5,-2x-2\times 6y=-2\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$-2x-y=-5,-2x-12y=-18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x-y=-5માંથી -2x-12y=-18 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x-y+12y=-5+18$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$-y+12y=-5+18$$

12y માં -y ઍડ કરો.

$$11y=-5+18$$

18 માં -5 ઍડ કરો.

$$11y=13$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{13}{11}$$

x+6y=9માં y માટે \frac{13}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+6\times \frac{13}{11}=9$$

\frac{13}{11} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+\frac{78}{11}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{78}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{21}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{21}{11},y=\frac{13}{11}$$