{c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=2$$

$$b=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી b નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

-b-2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-2b-4$$

અન્ય સમીકરણ, a-2b=8 માં a માટે -2b-4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2b-4-2b=8$$

-2b માં -2b ઍડ કરો.

$$-4b-4=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$-4b=12$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-3$$

a=-2b-4માં b માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=6-4$$

6 માં -4 ઍડ કરો.

$$a=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=2,b=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=2,b=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

\frac{a}{2} અને a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો \frac{1}{2} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{1}{2}a+b=-2માંથી \frac{1}{2}a-b=4 ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

-\frac{a}{2} માં \frac{a}{2} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{a}{2} અને -\frac{a}{2} ને વિભાજિત કરો.

$$b+b=-2-4$$

b માં b ઍડ કરો.

$$2b=-2-4$$

-4 માં -2 ઍડ કરો.

$$2b=-6$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-3$$

a-2b=8માં b માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

-3 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$a+6=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$a=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=2,b=-3$$