{l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=12$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x-2y=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y ને મેળવવા માટે -2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$-x-5y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3y=18$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-x-5y=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$-x=5y-2$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

5y-2 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-5y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+3y=18 માં x માટે -5y+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

-5y+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+4+3y=18$$

3y માં -10y ઍડ કરો.

$$-7y+4=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$-7y=14$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

x=-5y+2માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

-2 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=10+2$$

10 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=12$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=12,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x-2y=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y ને મેળવવા માટે -2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$-x-5y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3y=18$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=12,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. -2 સાથે x+y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$x-2x-2y=3y-2$$

-x ને મેળવવા માટે x અને -2x ને એકસાથે કરો.

$$-x-2y=3y-2$$

બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$-x-2y-3y=-2$$

-5y ને મેળવવા માટે -2y અને -3y ને એકસાથે કરો.

$$-x-5y=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x+3y=18$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

-x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

સરળ બનાવો.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x-10y=-4માંથી -2x-3y=-18 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$-10y+3y=-4+18$$

3y માં -10y ઍડ કરો.

$$-7y=-4+18$$

18 માં -4 ઍડ કરો.

$$-7y=14$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

2x+3y=18માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

-2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-6=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$2x=24$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=12,y=-2$$