{l}{6x-y=-23}{-8x-4y=4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x - y = - 23 }\\{ - 8 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$6x-y=-23$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$6x=y-23$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}\left(y-23\right)$$

y-23 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, -8x-4y=4 માં x માટે \frac{-23+y}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-8\left(\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}\right)-4y=4$$

\frac{-23+y}{6} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{92}{3}-4y=4$$

-4y માં -\frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{92}{3}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{92}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{80}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{16}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=5$$

x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{6}\times 5-\frac{23}{6}$$

5 ને \frac{1}{6} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5-23}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{5}{6} માં -\frac{23}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{32}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-23\right)-\frac{1}{32}\times 4\\-\frac{1}{4}\left(-23\right)-\frac{3}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

6x અને -8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-8\times 6x-8\left(-1\right)y=-8\left(-23\right),6\left(-8\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4$$

સરળ બનાવો.

$$-48x+8y=184,-48x-24y=24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -48x+8y=184માંથી -48x-24y=24 ને ઘટાડો.

$$-48x+48x+8y+24y=184-24$$

48x માં -48x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -48x અને 48x ને વિભાજિત કરો.

$$8y+24y=184-24$$

24y માં 8y ઍડ કરો.

$$32y=184-24$$

-24 માં 184 ઍડ કરો.

$$32y=160$$

બન્ને બાજુનો 32 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

-8x-4y=4માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-8x-4\times 5=4$$

5 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-8x-20=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 20 ઍડ કરો.

$$-8x=24$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=5$$