{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3,15 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 સાથે 3x+20y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 સાથે 8y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y ને મેળવવા માટે 60y અને -40y ને એકસાથે કરો.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x ને મેળવવા માટે 9x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+20y-5=16y$$

બન્ને બાજુથી 16y ઘટાડો.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y ને મેળવવા માટે 20y અને -16y ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y-5=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-3x+4y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+3y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-3y+10$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, -3x+4y=5 માં x માટે -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

4y માં \frac{9y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{15}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{25}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

2 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{3}{2} માં \frac{5}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3,15 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 સાથે 3x+20y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 સાથે 8y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y ને મેળવવા માટે 60y અને -40y ને એકસાથે કરો.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x ને મેળવવા માટે 9x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+20y-5=16y$$

બન્ને બાજુથી 16y ઘટાડો.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y ને મેળવવા માટે 20y અને -16y ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y-5=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-3x+4y=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 12 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,4,6 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$4x+3y=10$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 15 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 5,3,15 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 સાથે 3x+20y નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 સાથે 8y+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20y ને મેળવવા માટે 60y અને -40y ને એકસાથે કરો.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

બન્ને બાજુથી 12x ઘટાડો.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3x ને મેળવવા માટે 9x અને -12x ને એકસાથે કરો.

$$-3x+20y-5=16y$$

બન્ને બાજુથી 16y ઘટાડો.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4y ને મેળવવા માટે 20y અને -16y ને એકસાથે કરો.

$$-3x+4y-5=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$-3x+4y=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x અને -3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -12x-9y=-30માંથી -12x+16y=20 ને ઘટાડો.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

12x માં -12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -12x અને 12x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y-16y=-30-20$$

-16y માં -9y ઍડ કરો.

$$-25y=-30-20$$

-20 માં -30 ઍડ કરો.

$$-25y=-50$$

બન્ને બાજુનો -25 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

-3x+4y=5માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-3x+4\times 2=5$$

2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3x+8=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 8 નો ઘટાડો કરો.

$$-3x=-3$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=2$$