{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v માટે ઉકેલો

$$u=25$$

$$v=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને u ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને u માટે ઉકેલો.

$$u-30v=-65$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 30v ઍડ કરો.

$$u=30v-65$$

અન્ય સમીકરણ, -3u+80v=165 માં u માટે 30v-65 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

30v-65 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-90v+195+80v=165$$

80v માં -90v ઍડ કરો.

$$-10v+195=165$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 195 નો ઘટાડો કરો.

$$-10v=-30$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=3$$

u=30v-65માં v માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું u માટે ઉકેલો.

$$u=30\times 3-65$$

3 ને 30 વાર ગુણાકાર કરો.

$$u=90-65$$

90 માં -65 ઍડ કરો.

$$u=25$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=25,v=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો u અને v ને કાઢો.

$$u=25,v=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u અને -3u ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

સરળ બનાવો.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3u+90v=195માંથી -3u+80v=165 ને ઘટાડો.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3u માં -3u ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3u અને 3u ને વિભાજિત કરો.

$$90v-80v=195-165$$

-80v માં 90v ઍડ કરો.

$$10v=195-165$$

-165 માં 195 ઍડ કરો.

$$10v=30$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$v=3$$

-3u+80v=165માં v માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું u માટે ઉકેલો.

$$-3u+80\times 3=165$$

3 ને 80 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3u+240=165$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 240 નો ઘટાડો કરો.

$$-3u=-75$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$u=25$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=25,v=3$$