{r}{5p-q=7}{-2p+3q=5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

p, q માટે ઉકેલો

$$p=2$$

$$q=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને p ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને p માટે ઉકેલો.

$$5p-q=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ q ઍડ કરો.

$$5p=q+7$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

q+7 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

અન્ય સમીકરણ, -2p+3q=5 માં p માટે \frac{7+q}{5} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

\frac{7+q}{5} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

3q માં -\frac{2q}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{14}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{13}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$q=3$$

p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}માં q માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું p માટે ઉકેલો.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

3 ને \frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{5} માં \frac{7}{5} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$p=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$p=2,q=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો p અને q ને કાઢો.

$$p=2,q=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

5p અને -2p ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -10p+2q=-14માંથી -10p+15q=25 ને ઘટાડો.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

10p માં -10p ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -10p અને 10p ને વિભાજિત કરો.

$$2q-15q=-14-25$$

-15q માં 2q ઍડ કરો.

$$-13q=-14-25$$

-25 માં -14 ઍડ કરો.

$$-13q=-39$$

બન્ને બાજુનો -13 થી ભાગાકાર કરો.

$$q=3$$

-2p+3q=5માં q માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું p માટે ઉકેલો.

$$-2p+3\times 3=5$$

3 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2p+9=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$-2p=-4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$p=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$p=2,q=3$$