{r}{3x-4y=-1}{x-6y=-5} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { r } { 3 x - 4 y = - 1 } \\ { x - 6 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-4y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$3x=4y-1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-1\right)$$

4y-1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, x-6y=-5 માં x માટે \frac{4y-1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}-6y=-5$$

-6y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{14}{3}y-\frac{1}{3}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{1}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{14}{3}y=-\frac{14}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{14}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=1$$

x=\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{4}{3} માં -\frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)-\frac{2}{7}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-1\right)-\frac{3}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-4y=-1,x-6y=-5$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x-4y=-1,3x+3\left(-6\right)y=3\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$3x-4y=-1,3x-18y=-15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-4y=-1માંથી 3x-18y=-15 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-4y+18y=-1+15$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-4y+18y=-1+15$$

18y માં -4y ઍડ કરો.

$$14y=-1+15$$

15 માં -1 ઍડ કરો.

$$14y=14$$

બન્ને બાજુનો 14 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=1$$

x-6y=-5માં y માટે 1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-6=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=1$$