{l}{y=x-30}{40/160x+30/100y=131} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 30 } \\ { \frac { 40 } { 160 } x + \frac { 30 } { 100 } y = 131 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = \frac{2800}{11} = 254\frac{6}{11} \approx 254.545454545$$

$$y = \frac{2470}{11} = 224\frac{6}{11} \approx 224.545454545$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=-30$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 40 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{40}{160} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{30}{100}y=131$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{30}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{3}{10}y=131$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-x=-30,\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-x=-30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$y=x-30$$

અન્ય સમીકરણ, \frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131 માં y માટે x-30 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{3}{10}\left(x-30\right)+\frac{1}{4}x=131$$

x-30 ને \frac{3}{10} વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{3}{10}x-9+\frac{1}{4}x=131$$

\frac{x}{4} માં \frac{3x}{10} ઍડ કરો.

$$\frac{11}{20}x-9=131$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 9 ઍડ કરો.

$$\frac{11}{20}x=140$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{11}{20} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{2800}{11}$$

y=x-30માં x માટે \frac{2800}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{2800}{11}-30$$

\frac{2800}{11} માં -30 ઍડ કરો.

$$y=\frac{2470}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{2470}{11},x=\frac{2800}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=-30$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 40 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{40}{160} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{30}{100}y=131$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{30}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{3}{10}y=131$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-x=-30,\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{10}\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{10}\right)}\\-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{10}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{3}{10}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}&\frac{20}{11}\\-\frac{6}{11}&\frac{20}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\131\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{11}\left(-30\right)+\frac{20}{11}\times 131\\-\frac{6}{11}\left(-30\right)+\frac{20}{11}\times 131\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2470}{11}\\\frac{2800}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{2470}{11},x=\frac{2800}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$y-x=-30$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 40 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{40}{160} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{30}{100}y=131$$

10 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{30}{100} ને ઘટાડો.

$$\frac{1}{4}x+\frac{3}{10}y=131$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-x=-30,\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131$$

y અને \frac{3y}{10} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો \frac{3}{10} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$\frac{3}{10}y+\frac{3}{10}\left(-1\right)x=\frac{3}{10}\left(-30\right),\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131$$

સરળ બનાવો.

$$\frac{3}{10}y-\frac{3}{10}x=-9,\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી \frac{3}{10}y-\frac{3}{10}x=-9માંથી \frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131 ને ઘટાડો.

$$\frac{3}{10}y-\frac{3}{10}y-\frac{3}{10}x-\frac{1}{4}x=-9-131$$

-\frac{3y}{10} માં \frac{3y}{10} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો \frac{3y}{10} અને -\frac{3y}{10} ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{1}{4}x=-9-131$$

-\frac{x}{4} માં -\frac{3x}{10} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{20}x=-9-131$$

-131 માં -9 ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{20}x=-140$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{20} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=\frac{2800}{11}$$

\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}x=131માં x માટે \frac{2800}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$\frac{3}{10}y+\frac{1}{4}\times \frac{2800}{11}=131$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{4} નો \frac{2800}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$\frac{3}{10}y+\frac{700}{11}=131$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{700}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{10}y=\frac{741}{11}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{10} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{2470}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{2470}{11},x=\frac{2800}{11}$$