{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી kx ઘટાડો.

$$y-kx=b$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ y આઇસોલેટ કરીને y માટે y+\left(-k\right)x=b ને ઉકેલો.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \left(-k\right)x નો ઘટાડો કરો.

$$y=kx+b$$

અન્ય સમીકરણ, x^{2}+4y^{2}=4 માં y માટે kx+b નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

વર્ગ kx+b.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2} માં x^{2} ઍડ કરો.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+4k^{2} ને, b માટે 4\times 2kb ને, અને c માટે -4+4b^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

વર્ગ 4\times 2kb.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4+4b^{2} ને -4-16k^{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right) માં 64k^{2}b^{2} ઍડ કરો.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 નો વર્ગ મૂળ લો.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

1+4k^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

હવે x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} માં -8kb ઍડ કરો.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} નો 2+8k^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

હવે x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -8kb માંથી 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ને ઘટાડો.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

-8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} નો 2+8k^{2} થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x માટે બે ઉકેલ છે: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} અને -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ y=kx+b માં x માટે \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

\frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ને k વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

હવે સમીકરણ y=kx+b માં -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} માટે x ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને y માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

-\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} ને k વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$