{l}{y=kx+1}{x-3y+10=0} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + 1 } \\ { x - 3 y + 10 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{7}{3k-1}$$

$$y=-\frac{1-10k}{3k-1}$$

$$k\neq \frac{1}{3}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી kx ઘટાડો.

$$y-kx=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x-3y=-10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y+\left(-k\right)x=1,-3y+x=-10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y+\left(-k\right)x=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ kx ઍડ કરો.

$$y=kx+1$$

અન્ય સમીકરણ, -3y+x=-10 માં y માટે kx+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-3\left(kx+1\right)+x=-10$$

kx+1 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-3k\right)x-3+x=-10$$

x માં -3kx ઍડ કરો.

$$\left(1-3k\right)x-3=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$\left(1-3k\right)x=-7$$

બન્ને બાજુનો -3k+1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{1-3k}$$

y=kx+1માં x માટે -\frac{7}{-3k+1} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=k\left(-\frac{7}{1-3k}\right)+1$$

-\frac{7}{-3k+1} ને k વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{7k}{1-3k}+1$$

-\frac{7k}{-3k+1} માં 1 ઍડ કરો.

$$y=\frac{1-10k}{1-3k}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{1-10k}{1-3k},x=-\frac{7}{1-3k}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી kx ઘટાડો.

$$y-kx=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x-3y=-10$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+\left(-k\right)x=1,-3y+x=-10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-k\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-k\right)\left(-3\right)}&-\frac{-k}{1-\left(-k\right)\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-k\right)\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-k\right)\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3k}&\frac{k}{1-3k}\\\frac{3}{1-3k}&\frac{1}{1-3k}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3k}+\frac{k}{1-3k}\left(-10\right)\\\frac{3}{1-3k}+\frac{1}{1-3k}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10k-1}{1-3k}\\-\frac{7}{1-3k}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{10k-1}{1-3k},x=-\frac{7}{1-3k}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી kx ઘટાડો.

$$y-kx=1$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 10 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$x-3y=-10$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+\left(-k\right)x=1,-3y+x=-10$$

y અને -3y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3y-3\left(-k\right)x=-3,-3y+x=-10$$

સરળ બનાવો.

$$-3y+3kx=-3,-3y+x=-10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3y+3kx=-3માંથી -3y+x=-10 ને ઘટાડો.

$$-3y+3y+3kx-x=-3+10$$

3y માં -3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3y અને 3y ને વિભાજિત કરો.

$$3kx-x=-3+10$$

-x માં 3kx ઍડ કરો.

$$\left(3k-1\right)x=-3+10$$

10 માં -3 ઍડ કરો.

$$\left(3k-1\right)x=7$$

બન્ને બાજુનો 3k-1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{3k-1}$$

-3y+x=-10માં x માટે \frac{7}{3k-1} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-3y+\frac{7}{3k-1}=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{3k-1} નો ઘટાડો કરો.

$$-3y=\frac{3\left(1-10k\right)}{3k-1}$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1-10k}{3k-1}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{1-10k}{3k-1},x=\frac{7}{3k-1}$$