{l}{y=5x}{3(x+12)=y+12} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 5 x } \\ { 3 ( x + 12 ) = y + 12 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=12$$

$$y=60$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+12 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+36=y+12$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+36-y=12$$

બન્ને બાજુથી 36 ઘટાડો.

$$3x-y=12-36$$

-24 મેળવવા માટે 12 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-24$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-5x=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5x ઍડ કરો.

$$y=5x$$

અન્ય સમીકરણ, -y+3x=-24 માં y માટે 5x નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5x+3x=-24$$

3x માં -5x ઍડ કરો.

$$-2x=-24$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

y=5xમાં x માટે 12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=5\times 12$$

12 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=60$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=60,x=12$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+12 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+36=y+12$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+36-y=12$$

બન્ને બાજુથી 36 ઘટાડો.

$$3x-y=12-36$$

-24 મેળવવા માટે 12 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-24$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{3-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&-\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-24\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\left(-24\right)\\-\frac{1}{2}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=60,x=12$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 5x ઘટાડો.

$$y-5x=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x+12 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+36=y+12$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+36-y=12$$

બન્ને બાજુથી 36 ઘટાડો.

$$3x-y=12-36$$

-24 મેળવવા માટે 12 માંથી 36 ને ઘટાડો.

$$3x-y=-24$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-5x=0,-y+3x=-24$$

y અને -y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-y-\left(-5x\right)=0,-y+3x=-24$$

સરળ બનાવો.

$$-y+5x=0,-y+3x=-24$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -y+5x=0માંથી -y+3x=-24 ને ઘટાડો.

$$-y+y+5x-3x=24$$

y માં -y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -y અને y ને વિભાજિત કરો.

$$5x-3x=24$$

-3x માં 5x ઍડ કરો.

$$2x=24$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=12$$

-y+3x=-24માં x માટે 12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-y+3\times 12=-24$$

12 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y+36=-24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 36 નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-60$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=60$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=60,x=12$$