{l}{y=2x+1}{-3x+2y=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=-1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-2x=1,2y-3x=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-2x=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x ઍડ કરો.

$$y=2x+1$$

અન્ય સમીકરણ, 2y-3x=1 માં y માટે 2x+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(2x+1\right)-3x=1$$

2x+1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+2-3x=1$$

-3x માં 4x ઍડ કરો.

$$x+2=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$x=-1$$

y=2x+1માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=2\left(-1\right)+1$$

-1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-2+1$$

-2 માં 1 ઍડ કરો.

$$y=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-1,x=-1$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=1$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-2x=1,2y-3x=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3+2\\-2+1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-1,x=-1$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2x ઘટાડો.

$$y-2x=1$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-2x=1,2y-3x=1$$

y અને 2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2y+2\left(-2\right)x=2,2y-3x=1$$

સરળ બનાવો.

$$2y-4x=2,2y-3x=1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2y-4x=2માંથી 2y-3x=1 ને ઘટાડો.

$$2y-2y-4x+3x=2-1$$

-2y માં 2y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2y અને -2y ને વિભાજિત કરો.

$$-4x+3x=2-1$$

3x માં -4x ઍડ કરો.

$$-x=2-1$$

-1 માં 2 ઍડ કરો.

$$-x=1$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

2y-3x=1માં x માટે -1 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$2y-3\left(-1\right)=1$$

-1 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+3=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$2y=-2$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-1,x=-1$$