{l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{4}{6} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

અન્ય સમીકરણ, 5y+8x=-45 માં y માટે -\frac{2x}{3}-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

-\frac{2x}{3}-5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

8x માં -\frac{10x}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 25 ઍડ કરો.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{14}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{30}{7}$$

y=-\frac{2}{3}x-5માં x માટે -\frac{30}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{3} નો -\frac{30}{7} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

\frac{20}{7} માં -5 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{15}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{4}{6} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{2}{3}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 2 બહાર કાઢીને અને રદ કરીને ન્યૂનતમ ટર્મ્સ પર અપૂર્ણાંક \frac{4}{6} ને ઘટાડો.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{2}{3}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

y અને 5y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

સરળ બનાવો.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 5y+\frac{10}{3}x=-25માંથી 5y+8x=-45 ને ઘટાડો.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-5y માં 5y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5y અને -5y ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

-8x માં \frac{10x}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

45 માં -25 ઍડ કરો.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{14}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{30}{7}$$

5y+8x=-45માં x માટે -\frac{30}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

-\frac{30}{7} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{240}{7} ઍડ કરો.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{15}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$