{l}{y=9/4x+53/6}{y=8/5x+20/3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 9 } { 4 } x + \frac { 53 } { 6 } } \\ { y = \frac { 8 } { 5 } x + \frac { 20 } { 3 } } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3} \approx -3.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{9}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{5}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{9x}{4} ઍડ કરો.

$$y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}$$

અન્ય સમીકરણ, y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} માં y માટે \frac{9x}{4}+\frac{53}{6} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

-\frac{8x}{5} માં \frac{9x}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{13}{20}x+\frac{53}{6}=\frac{20}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{53}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{13}{20}x=-\frac{13}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{13}{20} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{10}{3}$$

y=\frac{9}{4}x+\frac{53}{6}માં x માટે -\frac{10}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{9}{4}\left(-\frac{10}{3}\right)+\frac{53}{6}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{9}{4} નો -\frac{10}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-\frac{15}{2}+\frac{53}{6}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{15}{2} માં \frac{53}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{4}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{9}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{5}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{9}{4}\\1&-\frac{8}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{8}{5}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&-\frac{-\frac{9}{4}}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\\-\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}&\frac{1}{-\frac{8}{5}-\left(-\frac{9}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}&\frac{45}{13}\\-\frac{20}{13}&\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{53}{6}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{32}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{45}{13}\times \frac{20}{3}\\-\frac{20}{13}\times \frac{53}{6}+\frac{20}{13}\times \frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{9}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{5}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6},y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-\frac{9}{4}x=\frac{53}{6}માંથી y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3} ને ઘટાડો.

$$y-y-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{9}{4}x+\frac{8}{5}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

\frac{8x}{5} માં -\frac{9x}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{53}{6}-\frac{20}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{20}{3} માં \frac{53}{6} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$-\frac{13}{20}x=\frac{13}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{13}{20} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{10}{3}$$

y-\frac{8}{5}x=\frac{20}{3}માં x માટે -\frac{10}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{8}{5}\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{20}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{8}{5} નો -\frac{10}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y+\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{16}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{4}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{4}{3},x=-\frac{10}{3}$$