{l}{y=5/4x-2}{y=-1/4x+19} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 4 } x - 2 } \\ { y = \frac { - 1 } { 4 } x + 19 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=14$$

$$y = \frac{31}{2} = 15\frac{1}{2} = 15.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{5}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-1}{4} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{1}{4} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{1}{4}x+19$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{1}{4}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{1}{4}x=19$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2,y+\frac{1}{4}x=19$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5x}{4} ઍડ કરો.

$$y=\frac{5}{4}x-2$$

અન્ય સમીકરણ, y+\frac{1}{4}x=19 માં y માટે \frac{5x}{4}-2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{5}{4}x-2+\frac{1}{4}x=19$$

\frac{x}{4} માં \frac{5x}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}x-2=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}x=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=14$$

y=\frac{5}{4}x-2માં x માટે 14 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{5}{4}\times 14-2$$

14 ને \frac{5}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{35}{2}-2$$

\frac{35}{2} માં -2 ઍડ કરો.

$$y=\frac{31}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{31}{2},x=14$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{5}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-1}{4} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{1}{4} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{1}{4}x+19$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{1}{4}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{1}{4}x=19$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2,y+\frac{1}{4}x=19$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{4}\\1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}&-\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{5}{6}\times 19\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\times 19\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{2}\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=\frac{31}{2},x=14$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{5}{4}x ઘટાડો.

$$y-\frac{5}{4}x=-2$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-1}{4} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{1}{4} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{1}{4}x+19$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{1}{4}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{1}{4}x=19$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y-\frac{5}{4}x=-2,y+\frac{1}{4}x=19$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી y-\frac{5}{4}x=-2માંથી y+\frac{1}{4}x=19 ને ઘટાડો.

$$y-y-\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}x=-2-19$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$-\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}x=-2-19$$

-\frac{x}{4} માં -\frac{5x}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{2}x=-2-19$$

-19 માં -2 ઍડ કરો.

$$-\frac{3}{2}x=-21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=14$$

y+\frac{1}{4}x=19માં x માટે 14 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y+\frac{1}{4}\times 14=19$$

14 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y+\frac{7}{2}=19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{31}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=\frac{31}{2},x=14$$