{l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-4}{5} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{4}{5} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

અન્ય સમીકરણ, 3y+8x=-45 માં y માટે -\frac{4x}{5}-9 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

-\frac{4x}{5}-9 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

8x માં -\frac{12x}{5} ઍડ કરો.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 27 ઍડ કરો.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{28}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{45}{14}$$

y=-\frac{4}{5}x-9માં x માટે -\frac{45}{14} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{5} નો -\frac{45}{14} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

\frac{18}{7} માં -9 ઍડ કરો.

$$y=-\frac{45}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-4}{5} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{4}{5} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{4}{5}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે \frac{8x}{3} ઍડ કરો.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3y+8x=-45$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. અપૂર્ણાંક \frac{-4}{5} નકારાત્મક સંકેત દ્વારા કાઢીને -\frac{4}{5} તરીકે ફરી લખી શકાય છે.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

બંને સાઇડ્સ માટે \frac{4}{5}x ઍડ કરો.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે \frac{8x}{3} ઍડ કરો.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3y+8x=-45$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

y અને 3y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

સરળ બનાવો.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3y+\frac{12}{5}x=-27માંથી 3y+8x=-45 ને ઘટાડો.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-3y માં 3y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3y અને -3y ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

-8x માં \frac{12x}{5} ઍડ કરો.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

45 માં -27 ઍડ કરો.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{28}{5} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{45}{14}$$

3y+8x=-45માં x માટે -\frac{45}{14} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

-\frac{45}{14} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{180}{7} ઍડ કરો.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{45}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$