{l}{x_{1}-2x_{2}=3}{2x_{1}+3x_{2}=1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } = 3 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 માટે ઉકેલો

$$x_{1} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$x_{2}=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}-2x_{2}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2x_{2} ઍડ કરો.

$$x_{1}=2x_{2}+3$$

અન્ય સમીકરણ, 2x_{1}+3x_{2}=1 માં x_{1} માટે 2x_{2}+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(2x_{2}+3\right)+3x_{2}=1$$

2x_{2}+3 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x_{2}+6+3x_{2}=1$$

3x_{2} માં 4x_{2} ઍડ કરો.

$$7x_{2}+6=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$7x_{2}=-5$$

બન્ને બાજુનો 7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

x_{1}=2x_{2}+3માં x_{2} માટે -\frac{5}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}=2\left(-\frac{5}{7}\right)+3$$

-\frac{5}{7} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x_{1}=-\frac{10}{7}+3$$

-\frac{10}{7} માં 3 ઍડ કરો.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 3+\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}\times 3+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x_{1} અને x_{2} ને કાઢો.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

x_{1} અને 2x_{1} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x_{1}+2\left(-2\right)x_{2}=2\times 3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

સરળ બનાવો.

$$2x_{1}-4x_{2}=6,2x_{1}+3x_{2}=1$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x_{1}-4x_{2}=6માંથી 2x_{1}+3x_{2}=1 ને ઘટાડો.

$$2x_{1}-2x_{1}-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

-2x_{1} માં 2x_{1} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x_{1} અને -2x_{1} ને વિભાજિત કરો.

$$-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

-3x_{2} માં -4x_{2} ઍડ કરો.

$$-7x_{2}=6-1$$

-1 માં 6 ઍડ કરો.

$$-7x_{2}=5$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

2x_{1}+3x_{2}=1માં x_{2} માટે -\frac{5}{7} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$2x_{1}+3\left(-\frac{5}{7}\right)=1$$

-\frac{5}{7} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x_{1}-\frac{15}{7}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{15}{7} ઍડ કરો.

$$2x_{1}=\frac{22}{7}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$