{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 માટે ઉકેલો

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x_{1} એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો x_{1} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x_{2}=2x_{1}$$

બન્ને બાજુથી 2x_{1} ઘટાડો.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી x_{2} નો ઘટાડો કરો.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

અન્ય સમીકરણ, -2x_{1}+x_{2}=0 માં x_{1} માટે -x_{2}+97 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-x_{2}+97 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

x_{2} માં 2x_{2} ઍડ કરો.

$$3x_{2}-194=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 194 ઍડ કરો.

$$3x_{2}=194$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97માં x_{2} માટે \frac{194}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

-\frac{194}{3} માં 97 ઍડ કરો.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x_{1} એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો x_{1} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x_{2}=2x_{1}$$

બન્ને બાજુથી 2x_{1} ઘટાડો.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x_{1} અને x_{2} ને કાઢો.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર કરવું તે વ્યાખ્યાયિત ન હોવાથી, ચલ x_{1} એ 0 ની સમાન હોઈ શકે નહીં. સમીકરણની બન્ને બાજુનો x_{1} સાથે ગુણાકાર કરો.

$$x_{2}=2x_{1}$$

બન્ને બાજુથી 2x_{1} ઘટાડો.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી x_{1}+x_{2}=97માંથી -2x_{1}+x_{2}=0 ને ઘટાડો.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

-x_{2} માં x_{2} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો x_{2} અને -x_{2} ને વિભાજિત કરો.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

2x_{1} માં x_{1} ઍડ કરો.

$$3x_{1}=97$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0માં x_{1} માટે \frac{97}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{2} માટે ઉકેલો.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

\frac{97}{3} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{194}{3} ઍડ કરો.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$