{l}{x-y=-5}{3x+2y=10} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-y=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$x=y-5$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y=10 માં x માટે y-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

y-5 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y-15+2y=10$$

2y માં 3y ઍડ કરો.

$$5y-15=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 15 ઍડ કરો.

$$5y=25$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

x=y-5માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=5-5$$

5 માં -5 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

સરળ બનાવો.

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-3y=-15માંથી 3x+2y=10 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-3y-2y=-15-10$$

-2y માં -3y ઍડ કરો.

$$-5y=-15-10$$

-10 માં -15 ઍડ કરો.

$$-5y=-25$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=5$$

3x+2y=10માં y માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2\times 5=10$$

5 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+10=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$3x=0$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=5$$