{l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y^{2} ઘટાડો.

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x-y=\frac{1}{4} ને ઉકેલો.

$$x-y=\frac{1}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી -y નો ઘટાડો કરો.

$$x=y+\frac{1}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -y^{2}+3x^{2}=6 માં x માટે y+\frac{1}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

વર્ગ y+\frac{1}{4}.

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

3y^{2} માં -y^{2} ઍડ કરો.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે -1+3\times 1^{2} ને, b માટે 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 ને, અને c માટે -\frac{93}{16} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-1+3\times 1^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

-\frac{93}{16} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{93}{2} માં \frac{9}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

\frac{195}{4} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

-1+3\times 1^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

હવે y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. \frac{\sqrt{195}}{2} માં -\frac{3}{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

હવે y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -\frac{3}{2} માંથી \frac{\sqrt{195}}{2} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} અને \frac{-3-\sqrt{195}}{8}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=y+\frac{1}{4} માં y માટે \frac{-3+\sqrt{195}}{8} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

હવે સમીકરણ x=y+\frac{1}{4} માં \frac{-3-\sqrt{195}}{8} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$