{l}{x-4y=3}{3x-8y=17} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 3 } \\ { 3 x - 8 y = 17 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=11$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-4y=3,3x-8y=17$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-4y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$x=4y+3$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-8y=17 માં x માટે 4y+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(4y+3\right)-8y=17$$

4y+3 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$12y+9-8y=17$$

-8y માં 12y ઍડ કરો.

$$4y+9=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$4y=8$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

x=4y+3માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=4\times 2+3$$

2 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=8+3$$

8 માં 3 ઍડ કરો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-4y=3,3x-8y=17$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 3+17\\-\frac{3}{4}\times 3+\frac{1}{4}\times 17\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=11,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-4y=3,3x-8y=17$$

x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+3\left(-4\right)y=3\times 3,3x-8y=17$$

સરળ બનાવો.

$$3x-12y=9,3x-8y=17$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-12y=9માંથી 3x-8y=17 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-12y+8y=9-17$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-12y+8y=9-17$$

8y માં -12y ઍડ કરો.

$$-4y=9-17$$

-17 માં 9 ઍડ કરો.

$$-4y=-8$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

3x-8y=17માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-8\times 2=17$$

2 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-16=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 16 ઍડ કરો.

$$3x=33$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=11$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=11,y=2$$