{l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x ને મેળવવા માટે 2x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-4x-y-3=2y+2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y ને મેળવવા માટે -y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-4x-3y-3=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$-4x-3y=2+3$$

5મેળવવા માટે 2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$-4x-3y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=4x-2$$

બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$5x+y-4x=-2$$

x ને મેળવવા માટે 5x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$x+y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$-4x-3y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$-4x=3y+5$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5 ને -\frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=-2 માં x માટે \frac{-3y-5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

y માં -\frac{3y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

બન્ને બાજુનો 4 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-3 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{9}{4} માં -\frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x ને મેળવવા માટે 2x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-4x-y-3=2y+2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y ને મેળવવા માટે -y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-4x-3y-3=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$-4x-3y=2+3$$

5મેળવવા માટે 2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$-4x-3y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=4x-2$$

બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$5x+y-4x=-2$$

x ને મેળવવા માટે 5x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$x+y=-2$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 નો વિરૂદ્ધ શોધવા માટે, પ્રત્યેક શબ્દનો વિરુદ્ધ શબ્દ શોધો.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4x ને મેળવવા માટે 2x અને -6x ને એકસાથે કરો.

$$-4x-y-3=2y+2$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3y ને મેળવવા માટે -y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-4x-3y-3=2$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$-4x-3y=2+3$$

5મેળવવા માટે 2 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$-4x-3y=5$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5x+y=4x-2$$

બન્ને બાજુથી 4x ઘટાડો.

$$5x+y-4x=-2$$

x ને મેળવવા માટે 5x અને -4x ને એકસાથે કરો.

$$x+y=-2$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો -4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -4x-3y=5માંથી -4x-4y=8 ને ઘટાડો.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

4x માં -4x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -4x અને 4x ને વિભાજિત કરો.

$$-3y+4y=5-8$$

4y માં -3y ઍડ કરો.

$$y=5-8$$

-8 માં 5 ઍડ કરો.

$$y=-3$$

x+y=-2માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-3=-2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-3$$