{l}{x^2+y^2=4}{x+y=a} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x+y=a ને ઉકેલો.

$$x+y=a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+a$$

અન્ય સમીકરણ, y^{2}+x^{2}=4 માં x માટે -y+a નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

વર્ગ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

y^{2} માં y^{2} ઍડ કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+1\left(-1\right)^{2} ને, b માટે 1\left(-1\right)\times 2a ને, અને c માટે -4+a^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-4+a^{2} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

32-8a^{2} માં 4a^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

32-4a^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{8-a^{2}} માં 2a ઍડ કરો.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{8-a^{2}} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 2a માંથી 2\sqrt{8-a^{2}} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{8-a^{2}} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} અને \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-y+a માં y માટે \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

હવે સમીકરણ x=-y+a માં \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 2\sqrt{2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=4$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે x+y=a ને ઉકેલો.

$$x+y=a$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+a$$

અન્ય સમીકરણ, y^{2}+x^{2}=4 માં x માટે -y+a નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

વર્ગ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

y^{2} માં y^{2} ઍડ કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 1+1\left(-1\right)^{2} ને, b માટે 1\left(-1\right)\times 2a ને, અને c માટે -4+a^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

વર્ગ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-4+a^{2} ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

32-8a^{2} માં 4a^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

32-4a^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

1+1\left(-1\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 2\sqrt{8-a^{2}} માં 2a ઍડ કરો.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{8-a^{2}} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

હવે y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. 2a માંથી 2\sqrt{8-a^{2}} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{8-a^{2}} નો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} અને \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-y+a માં y માટે \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

હવે સમીકરણ x=-y+a માં \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$