{l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{2}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-3y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$x=3y+4$$

અન્ય સમીકરણ, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} માં x માટે 3y+4 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

3y+4 ને -\frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

y માં -\frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

બન્ને બાજુનો -2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=3y+4માં y માટે \frac{4}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

\frac{4}{3} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=4+4$$

4 માં 4 ઍડ કરો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{2}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 3y ઘટાડો.

$$x-3y=4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{1}{2}x ઘટાડો.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

x અને -\frac{x}{2} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -\frac{1}{2} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

સરળ બનાવો.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2માંથી -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} ને ઘટાડો.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{x}{2} માં -\frac{x}{2} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{x}{2} અને \frac{x}{2} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

-y માં \frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{8}{3} માં -2 ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}માં y માટે \frac{4}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

બન્ને બાજુનો -2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=8$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$