{l}{x=3/4y}{y=8/9x-4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-9$$

$$y=-12$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{3}{4}y ઘટાડો.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{9}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3y}{4} ઍડ કરો.

$$x=\frac{3}{4}y$$

અન્ય સમીકરણ, -\frac{8}{9}x+y=-4 માં x માટે \frac{3y}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

\frac{3y}{4} ને -\frac{8}{9} વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

y માં -\frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-12$$

x=\frac{3}{4}yમાં y માટે -12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

-12 ને \frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-9,y=-12$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{3}{4}y ઘટાડો.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{9}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-9,y=-12$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{3}{4}y ઘટાડો.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી \frac{8}{9}x ઘટાડો.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x અને -\frac{8x}{9} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -\frac{8}{9} સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

સરળ બનાવો.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0માંથી -\frac{8}{9}x+y=-4 ને ઘટાડો.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

\frac{8x}{9} માં -\frac{8x}{9} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -\frac{8x}{9} અને \frac{8x}{9} ને વિભાજિત કરો.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

-y માં \frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-12$$

-\frac{8}{9}x+y=-4માં y માટે -12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{8}{9} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-9,y=-12$$