{l}{x+y=3}{ax+5y=4} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 3 } \\ { a x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

$$y=-\frac{4-3a}{a-5}$$

$$a\neq 5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+3$$

અન્ય સમીકરણ, ax+5y=4 માં x માટે -y+3 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$a\left(-y+3\right)+5y=4$$

-y+3 ને a વાર ગુણાકાર કરો.

$$\left(-a\right)y+3a+5y=4$$

5y માં -ay ઍડ કરો.

$$\left(5-a\right)y+3a=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3a નો ઘટાડો કરો.

$$\left(5-a\right)y=4-3a$$

બન્ને બાજુનો -a+5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{4-3a}{5-a}$$

x=-y+3માં y માટે \frac{4-3a}{-a+5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4-3a}{5-a}+3$$

-\frac{4-3a}{-a+5} માં 3 ઍડ કરો.

$$x=\frac{11}{5-a}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{11}{5-a},y=\frac{4-3a}{5-a}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\a&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}&-\frac{1}{5-a}\\-\frac{a}{5-a}&\frac{1}{5-a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-a}\times 3+\left(-\frac{1}{5-a}\right)\times 4\\\left(-\frac{a}{5-a}\right)\times 3+\frac{1}{5-a}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{5-a}\\-\frac{3a-4}{5-a}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{11}{5-a},y=-\frac{3a-4}{5-a}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=3,ax+5y=4$$

x અને ax ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો a સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$ax+ay=a\times 3,ax+5y=4$$

સરળ બનાવો.

$$ax+ay=3a,ax+5y=4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી ax+ay=3aમાંથી ax+5y=4 ને ઘટાડો.

$$ax+\left(-a\right)x+ay-5y=3a-4$$

-ax માં ax ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો ax અને -ax ને વિભાજિત કરો.

$$ay-5y=3a-4$$

-5y માં ay ઍડ કરો.

$$\left(a-5\right)y=3a-4$$

બન્ને બાજુનો a-5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{3a-4}{a-5}$$

ax+5y=4માં y માટે \frac{3a-4}{a-5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$ax+5\times \frac{3a-4}{a-5}=4$$

\frac{3a-4}{a-5} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$ax+\frac{5\left(3a-4\right)}{a-5}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5\left(3a-4\right)}{a-5} નો ઘટાડો કરો.

$$ax=-\frac{11a}{a-5}$$

બન્ને બાજુનો a થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{11}{a-5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{11}{a-5},y=\frac{3a-4}{a-5}$$