{l}{x+y=22}{10x+4y=178} ઉકેલો

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 22 } \\ { 10 x + 4 y = 178 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=15$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x+y=22,10x+4y=178$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$x+y=22$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$x=-y+22$$

અન્ય સમીકરણ, 10x+4y=178 માં x માટે -y+22 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$10\left(-y+22\right)+4y=178$$

-y+22 ને 10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+220+4y=178$$

4y માં -10y ઍડ કરો.

$$-6y+220=178$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 220 નો ઘટાડો કરો.

$$-6y=-42$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

x=-y+22માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-7+22$$

-7 માં 22 ઍડ કરો.

$$x=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=15,y=7$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$x+y=22,10x+4y=178$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-10}&-\frac{1}{4-10}\\-\frac{10}{4-10}&\frac{1}{4-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\178\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 22+\frac{1}{6}\times 178\\\frac{5}{3}\times 22-\frac{1}{6}\times 178\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=15,y=7$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$x+y=22,10x+4y=178$$

x અને 10x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 10 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$10x+10y=10\times 22,10x+4y=178$$

સરળ બનાવો.

$$10x+10y=220,10x+4y=178$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 10x+10y=220માંથી 10x+4y=178 ને ઘટાડો.

$$10x-10x+10y-4y=220-178$$

-10x માં 10x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 10x અને -10x ને વિભાજિત કરો.

$$10y-4y=220-178$$

-4y માં 10y ઍડ કરો.

$$6y=220-178$$

-178 માં 220 ઍડ કરો.

$$6y=42$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

10x+4y=178માં y માટે 7 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$10x+4\times 7=178$$

7 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$10x+28=178$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 28 નો ઘટાડો કરો.

$$10x=150$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=15,y=7$$